ZS NR 3 w WEJHEROWIE
GIMNAZJUM NR 3
MATEMATYKA
POWTÓRKA PRZED EGZAMINEM
ZADANIA DLA KLAS III GIMNAZJUM
ZADANIA ZEBRAŁY I OPRACOWAŁY NAUCZYCIELKI MATEMATYKI
mgr DAGMARA KUPSKA
mgr JUSTYNA HEBEL
mgr KRYSTYNA CZAPLIŃSKA
WEJHEROWO 2008
Spis treści
II Liczby wymierne i obliczenia procentowe................................................................ str. 7
III Wyrażenia algebraiczne............................................................................................. str. 10
IV Równania, nierówności, układy równań.................................................................... str. 12
V Funkcje....................................................................................................................... str. 16
VI Figury płaskie............................................................................................................. str. 20
VII Bryły.......................................................................................................................... str. 22
VIII Statystyka i prawdopodobieństwo............................................................................. str. 26
Odpowiedzi do zadań.......................................................................................................... str. 29
Od autorek
Książka ta obejmuje podstawowy materiał z arytmetyki, algebry i geometrii realizowany w klasach I – III gimnazjum. Zawiera najistotniejsze wiadomości i wzory oraz zadania do każdego rozdziału.
Zadania przeznaczone są głównie dla uczniów klas III gimnazjum, którzy chcą się dobrze przygotować do egzaminu gimnazjalnego.
Mamy nadzieję, że nasza książka okaże się przydatna na lekcjach powtórzeniowych jak również podczas samodzielnej pracy w domu.
Życzymy owocnej i systematycznej pracy.
Powodzenia na egzaminie!
I Potęgi i pierwiastki
Potęgi:
iloczyn n czynników równych a
|
Dla a ≠ 0 przyjmujemy dodatkowo, że .
Działania na potęgach:
przy jednakowych podstawach:
|
przy jednakowych wykładnikach:
|
Uwaga. Można też rozpatrywać potęgi o wykładnikach ujemnych pamiętając, że:
Pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, dla której .
Pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, dla której .
Własności pierwiastków:
|
|
|
dla a ≥ 0 ,
|
|
|
|
dla a ≥ 0 i b ≥ 0 ,
|
|
|
|
dla a ≥ 0 i b >0 .
|
Liczby niewymierne to wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są wymierne (ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe), na przykład , , π.
Wartość bezwzględna:
1. Oblicz:
|
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
|
f)
|
g)
|
h)
|
i)
|
j)
|
2. W ciągu godziny bakteria dzieli się na dwie nowe bakterie, które po kolejnej godzinie dzielą się ponownie itd. Zapisz w postaci potęgi, ile bakterii powstanie w ten sposób z jednej w ciągu:
a) doby, b) tygodnia, c) roku.
3. Przedstaw w postaci jednej potęgi:
4. Najstarsze budowle mają lat. Cały Wszechświat ma około lat. Ile starszy jest Wszechświat od najstarszych budowli? Odpowiedź podaj w postaci potęgi liczby 10.
5. Która z podanych liczb jest większa? Czy są równe?
6. Oblicz korzystając ze wzorów na potęgowanie iloczynu i ilorazu:
|
a)
|
b)
|
c)
|
|
d)
|
e)
|
f)
|
|
g)
|
h)
|
*i)
|
7. Oblicz, korzystając z poznanych działań na potęgach:
8. Rozwiąż równania:
9. Oblicz:
10. Zapisz podane informacje, używając notacji wykładniczej.
a) Ziarenko maku waży około 0,0005 grama.
b) Włos człowieka rośnie z szybkością około 0,000000009 m/s.
c) Wirus grypy waży 0,0000000000007 grama.
d) Mózg człowieka składa się z około 10000000000000 komórek.
e) Szklanka wody zawiera około 8300000000000000000000000 cząsteczek,
z których każda waży około 0,00000000000000000000003 grama.
11. Oblicz:
|
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
e)
|
|
f)
|
g)
|
h)
|
i)
|
j)
|
12. Jaki znak (<, >, =) należy wstawić w miejsce ♦ ? Nie używaj kalkulatora.
|
a) ♦
|
b) ♦
|
c) ♦
|
|
d) ♦
|
e) ♦
|
f) ♦
|
13. Pyton ma 8 m długości i objętość 100 dm3. Jaka jest krawędź sześcianu, którego objętość jest równa objętości pytona? Spróbuj najpierw odgadnąć wynik, a następnie oblicz go.
14. A) Wyłącz jak największy czynnik przed znak pierwiastka, ale tak, aby pod pierwiastkiem została liczba całkowita.
B) Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
15. Oblicz:
16. Wykonaj działania, zapisując wcześniej występujące w nich liczby w notacji wykładniczej. Wynik zapisz bez użycia potęgi.
17. Ile metrów ozdobnej taśmy należy kupić, aby obszyć kwadratową serwetę o polu równym 60 cm2 ? Oszacuj wynik z nadmiarem z dokładnością do części setnych.
18. W podanych przykładach uwolnij mianownik od niewymierności;
19. Oblicz podane wyrażenia.
20. Wykonaj podane działania.
21. W pewnej rodzinie począwszy od prapradziadka każde pokolenie sadzi pięć sosen. Ile drzew dotychczas zasadziła ta rodzina?
22. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi cm/s. Używając notacji wykładniczej zapisz tę prędkość w cm/h.
23. Serce bije około 70 razy w ciągu minuty. Ile razy uderzy w ciągu 80-letniego życia człowieka? Odpowiedź zapisz w notacji wykładniczej (lata przestępne możesz pominąć).
II Liczby wymierne i obliczenia procentowe
Zbiory liczb
N = {0,1,2,3,...} - zbiór liczb naturalnych
C = {..., -4,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} - zbiór liczb całkowitych
W = {x : y, gdzie x jest liczbą całkowitą, y liczbą naturalną różną od 0} - zbiór liczb wymiernych
Prawa działań
prawa przemienności
prawa łączności
prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania
Działania na ułamkach zwykłych
Skrócić ułamek tzn. podzielić licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik;
np.
Rozszerzyć ułamek tzn. pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę całkowitą różną od 0; np.
Obliczenia procentowe
Obliczanie p% liczby x:
p%x =
Obliczanie liczby x, gdy dane jest jej p% i wynosi y:
p%x = y
Obliczanie, jakim procentem liczby x jest liczba y:
p%x = y
1. Oblicz:
a) d)
b) e)
c) f)
2. Do klubu sportowego uczęszczają 24 osoby. Chłopcy stanowią wszystkich uczestników,
liczby dziewcząt uczęszczających do klubu trenuje gimnastykę, a pozostała liczba dziewcząt tenis stołowy. Ile dziewcząt trenuje tenis stołowy?
3. Na wycieczce Agnieszka na przejazdy po mieście wydała 30 zł, co stanowiło posiadanych pieniędzy. Na przyjemności wydała reszty. Pozostałe pieniądze przeznaczyła na prezent dla brata. Ile pieniędzy przeznaczyła Agnieszka na prezent?
4. Szklarz oszklił trzy okna. Pierwsze o długości 1,2 m i szerokości 0,8 m, długość drugiego była równa szerokości pierwszego, a szerokość wynosiła połowę długości pierwszego okna. Powierzchnia trzeciego okna stanowiła powierzchni dwóch poprzednich okien. Ile metrów kwadratowych szkła zużył szklarz na oszklenie wszystkich trzech okien?
5. W dwóch skrzynkach jest kg mandarynek. Ile mandarynek jest w każdej skrzynce, jeżeli w drugiej skrzynce jest 2,5 razy więcej mandarynek niż w pierwszej skrzynce?
6. Z 9,5 litrów mleka można otrzymać 1,52 litra śmietany. Ile litrów śmietany można otrzymać z 22,5 litrów mleka?
7. Gdy do naczynia prostopadłościennego o podstawie kwadratu wlano 14,4 litrów wody, to wysokość słupa wody wynosiła 36 cm. Oblicz krawędź podstawy tego naczynia?
8. Oblicz próbę stopu, w którym jest 48 g czystego złota i 2 g miedzi.
9. Oblicz:
a) 2% liczby 9 b) 40% liczby
c) 105% liczby d) 60% liczby
10. Porównaj wyrażenia:
a) 12% masy 20 kg 10% masy 0,03 t
b) 0,7% kwoty 2000 zł 120,5% kwoty 600 gr
11. Oblicz, jakim procentem liczby a jest liczba b. Wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych.
a) a = 35 b = 60 b) a = 120 b = 50
c) a = b = 0,1 d) a = b = 12
e) a = 12,67 b = 321,56 f) a = b = 14
12. Oblicz liczbę, której:
a) 13% wynosi 2,6 b) 26% wynosi 84,5 c) 111% wynosi
d) % wynosi 16 e) 10,6% wynosi 5,3 f) 1,2% wynosi 0,456
13. Przedstaw na diagramie kołowym podział procentowy książek w bibliotece, jeżeli: wszystkich książek to książki dziecięce, to książki popularno-naukowe, to książki beletrystyczne, a pozostałe to podręczniki szkolne.
14. W szkole uczyło się 300 uczniów. Po pierwszym roku liczba uczniów wzrosła o 20%, a po drugim o 15%. Ilu uczniów uczy się obecnie w tej szkole?
15. Z naczynia z wodą wyparowało 15% wody. Ile wody było początkowo w naczyniu, jeśli pozostało 34 litry?
16. Towar brutto waży 120 kg, tara wynosi 6 kg. Jaki procent wagi brutto stanowi waga netto?
17. Jurek wpłacił do banku 600 zł na 3,3% w stosunku rocznym. Jaką kwotę będzie posiadał Jurek po roku oszczędzania?
18. Jaką kwotę wpłacono do banku na okres 1 roku na 2,5% w stosunku rocznym, jeżeli odsetki za 1 kwartał wyniosły 345 zł ?
III Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia, w których obok liczb i znaków działań występują litery nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.
np. , ,
Wyrażenia, które są pojedynczymi liczbami, literami lub iloczynami liczb i liter, nazywamy jednomianami.
np. – 3a, 34, ,
Wyrażenie, które powstaje przez dodawanie jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Jednomiany, które dodajemy to wyrazy sumy algebraicznej.
np. – 3a + 34 + x +
Przykłady przekształceń algebraicznych
· redukcja wyrazów podobnych
y + 3 – + 2y + 8 = – + 3y + 11
· likwidowanie nawiasów
x(y + 3) = xy + 3x
– x(y + 3) = – xy – 3x
– (2x + 5)= – 2x – 5
· dzielenie
(4 + 6x) : 2 = 2 + 3x
· wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
6a + 12ab = 6a (1 + 2b)
· mnożenie sum algebraicznych
(x + 2)(4 – y) = 4x – xy +8 – 2y
Wzory skróconego mnożenia :
· kwadrat sumy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
· kwadrat różnicy
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
· różnica kwadratów
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
1. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego.
a) średnią arytmetyczną liczb a i b,
b) różnicę potrojonej liczby a i kwadratu liczby b,
c) iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych,
d) sumę dwóch kolejnych liczb parzystych.
2. Oblicz wartość liczbową wyrażenia.
a) 2 – 4 x² y dla x = 0,2 i y = – 5
b) (a + b) : 2 + a dla a = i b =
c) (2 – a + a2) : (3 + a – a2) dla a =
3. Przedstaw w najprostszej postaci.
a) 3 – (2 + 3x) – (2x + 5) b) 0,25(4b – 2) – 3(b – 2a) + (4a – 5b)
c) (x – 3)(x + 2) + (x – 5)(x – 3) d) x2 (x – 3) – (x2 + x – 2)(x + 3)
e) (4y – 2)(4y – 5) – (y2 + 9) f) – 2 (a + 4,1) – 3(b + 2,5)
4. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
a) 3a2b2 – 9a3b2 b) 4x3y2 – xy
c) 2a2b – 4ab2 + ab d) x(a + b) – y(a + b)
5. Zapisz w jak najprostszej postaci, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.
a) (x + y)(x – y) – (x + 2)2
b) (a – 3)2 – (2a + 3b)(2a – 3b)
c) (2x + 4xy)2 – 3x
d) (2x + 3)(2x – 3) – (2x + 3)2
e) – (x – 2)2 – 2(x + 3)2 + (x + 1)(x – 1)
f) 2(x + 5)2 – 3[4(2x – 1)2 – 4(x + 1)2]
6. Usuń niewymierność z mianownika :
a) b)
c) d)
7. Oblicz wartość wyrażenia :
( + 2x)(2 + 4x2)( – 2x) dla x =
8. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych obwody i pola poniższych figur :
a) kwadratu o boku długości a2 – 2a
b) prostokąta o bokach długości (x + 1)2 – 2 i x2 – 3x
9. O ile zwiększy się pole kwadratu o boku 3x + 1, jeśli długość jego boku zwiększymy dwukrotnie?
IV Równania, nierówności, układy równań
Równania
Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:
3x + 2 = 8, 2x – (3x + 1) = 5
Liczba rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą :
· Równanie oznaczone ma jedno rozwiązanie, np.
3x + 4 = x + 12
x = 4
· Równanie tożsamościowe (nieoznaczone) ma nieskończenie wiele rozwiązań (wszystkie liczby rzeczywiste spełniają to równanie), np.
3x + 15 = 3 (x + 5)
0x = 0
0 = 0
· Równanie sprzeczne nie ma rozwiązania (jest to równanie, którego nie spełnia żadna liczba), np.
3x – 2 = 3 (x – 2)
0x = – 4
0 ¹ – 4
Nierówności
Rozwiązując nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań. Musimy pamiętać o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny, gdy dzielimy lub mnożymy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, np.
– 3x > 6 / : (–3)
x < –2
Ilustrujemy zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej, np.
-1 0
Układy równań
Układy równań służą do zapisywania i rozwiązywania tych zadań, w których występuje więcej niż jedna niewiadoma np.
Liczba rozwiązań układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:
· Układ równań ma jedno rozwiązanie, taki układ nazywamy układem oznaczonym np.
· Układ równań nie ma rozwiązań, taki układ nazywamy układem sprzecznym np.
0 ¹ –1
· Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, taki nazywamy układem nieoznaczonym np.
0 = 0
Metody rozwiązywania układów równań :
· algebraiczne: metoda podstawiania i przeciwnych współczynników
· graficzna
1. Rozwiąż podane równania.
a) 3x – = 1 – x
b) 4z – 3(3z – 5) = 2z + 1
c) – 8(x + 3) + 4(2x – 6) = 0
d) 3x + 5 – 7x = 2 – 4x + 3
e) 4(x – 1) – 2,5(2x – 3) = 3,2
f) + = 1
g) 3(x + 1)2 + x – 3 = (x – 1)(x + 1) + 2x2
2. Rozwiąż podane nierówności. Rozwiązania zaznacz na osi liczbowej.
a) – (6x + 2) + 3(x – 1) < 0
b) 0,1x + 0,25(1 – x) > 0,15
c) (x – 2)2 ≤ (x + 3)(x – 3)
d) (y – 1) < y – (y + 3)
e) 2x – ≥ 1 – x
f) 2(x – 3)2 – 7 ≤ – 9x
g) + 4 < 5(x – 2) – 3x + 12
3. Rozwiąż nierówność 0,09x + 0,1 (x + 200) > 77
a) Zilustruj rozwiązanie na osi liczbowej.
b) Podaj trzy liczby naturalne spełniające tę nierówność.
c) Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
4. Rozwiąż nierówność.
– ≥ 1
Sprawdź, czy rozwiązanie równania poniżej należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.
1 – = x –
5. Rozwiąż nierówność. Zbiór rozwiązań zaznacz na osi liczbowej.
(x – 2)2 < + (x + 1)(x – 1)
Podaj, które z następujących liczb należą do zbioru rozwiązań tej nierówności:
, – , 1 , –1
6. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań :
a) b)
c) d)
e) f)
7. Rozwiąż zadania tekstowe
a) Jedna z liczb jest o 5 większa od drugiej. 20% większej liczby wynosi tyle, co 55% drugiej liczby. Jakie to liczby?
b) Suma dwóch liczb wynosi 36. Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 20% a drugą zmniejszymy o 3, to suma zwiększy się 2 razy. Znajdź te liczby.
c) Miary kątów trójkąta mają się do siebie jak 2 : 3 : 4. Oblicz miary tych kątów.
d) Oblicz długości boków prostokąta, którego obwód wynosi 35 cm, a jeden bok jest o 2,5 cm dłuższy od drugiego.
e) Ojciec ma 27 lat a syn 3 lata. Za ile lat ojciec będzie 4 razy starszy od syna?
f) Tomek i Marek mają razem 600 znaczków. Gdyby Tomek oddał Markowi 25 znaczków, to mieliby wówczas tyle samo. Ile znaczków ma Tomek, a ile Marek?
V Funkcje
Niech dane będą zbiory X i Y. Jeżeli każdemu elementowi x є X odpowiada dokładnie jeden element y є Y to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją.
Zbiór X to dziedzina funkcji (zbiór argumentów).
Zbiór Y to przeciwdziedzina funkcji (zbiór wartości).
Elementy zbioru X to argumenty.
Elementy zbioru Y to wartości funkcji.
Sposoby przedstawiania funkcji:
· opis słowny
· tabelka
· graf
· wzór
· wykres
Funkcję określoną wzorem y = ax + b nazywamy funkcją liniową.
Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
· Liczba a to współczynnik kierunkowy funkcji liniowej.
Jeżeli funkcje mają ten sam współczynnik kierunkowy a, to ich wykresy są prostymi równoległymi.
Jeśli a > 0, to funkcja jest rosnąca; wykres przechodzi przez I i III ćwiartkę układu współrzędnych; wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.
Jeśli a < 0, to funkcja jest malejąca; wykres przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych; wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.
Jeśli a = 0, to funkcja jest stała; wykres jest równoległy do osi x; wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji pozostają stałe.
· Współczynnik b mówi o tym, w którym punkcie wykres funkcji przecina oś y. Jeżeli funkcje mają ten sam współczynnik b, to ich wykresy przecinają się w tym samym punkcie (0 , b).
· Miejscem zerowym funkcji nazywamy ten argument x, dla którego wartość funkcji jest równa zero. Miejsce zerowe funkcji y = ax + b obliczamy rozwiązując równanie ax + b = 0.
Wykresy funkcji liniowych są równoległe.
a = 1
|
Wykresy funkcji liniowych przechodzą przez punkt o współrzędnych (0,2).
b = 2
|
1. Dane są trzy grafy. Czy te odwzorowania przedstawiają funkcje?
a)
b)
c)
2. Funkcja określona jest tabelką :
|
x
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
y
|
-6
|
-4
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
a) Wymień ujemne wartości tej funkcji.
b) Odczytaj wartość funkcji dla argumentu 2.
c) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 2?
d) Przedstaw tę funkcję za pomocą wykresu, wzoru, opisu słownego i grafu.
3. Sporządź wykres funkcji y = 3x + 2, jeżeli jej dziedziną jest :
a) zbiór liczb naturalnych mniejszych od 5,
b) zbiór liczb rzeczywistych,
c) zbiór liczb całkowitych.
4. Naszkicuj wykresy funkcji liniowej:
a) y = – 2
b) y = – x + 5
c) y = x + 2
5. Dana jest funkcja liniowa określona wzorem y = x + 2
a) Sporządź wykres tej funkcji.
d) Sprawdź, który z punktów A = (2,3), B = (–2,5), C = (4,4) należy do wykresu.
e) Oblicz jej miejsce zerowe.
d) Określ, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
e) Czy podana funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała?
6. Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = 3x + 2 i przechodzi przez punkt P = (1,5).
7. Do wykresu funkcji y = ax + b należą punkty: A = (1,3), B = (– 2,1).
Wyznacz a i b.
8. Dane są funkcje: y = 2x – 2 i y = – 3x + 5.
Oblicz współrzędne punktów przecięcia się wykresów tych funkcji.
9. Oblicz pole figury ograniczonej prostymi o równaniach :
y = 2, y = 2x, y = – x + 6.
VI Figury płaskie
Trójkąt:
Trójkąt równoboczny:
Kwadrat:
Prostokąt:
Romb:
Równoległobok:
Trapez:
1. Narysuj odcinek długości 7cm, a następnie skonstruuj trójkąt równoboczny o obwodzie równym długości tego odcinka.
2. Na mapie wykonanej w skali 1:400000 odległość między dwoma miastami wynosi 6 cm. Oblicz, o ile kilometrów są oddalone te miasta w rzeczywistości.
3. Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 10 cm i kącie ostrym 60o.
4. Pewna działka ma kształt trapezu. Na planie podstawy tego trapezu liczą 3 cm i 6 cm, a wysokość 4 cm . W rzeczywistości ukośny bok trapezu ma 25 m długości. Podaj skalę w jakiej wykonano plan i oblicz ile arów ma ta działka?
5. Latarka prostopadła do ściany i odległa od niej o 0,5m oświetla obszar o średnicy 80 cm .
O ile centymetrów trzeba odsunąć latarkę od ściany, aby średnica oświetlonego obszaru była równa 1,2 m?
6. 15-metrowa brzoza rosła 9 m od domu. Huragan złamał drzewo na jego wysokości.
Czy złamane drzewo uszkodziło dom?
7. Czy okrągły obrus o promieniu 1 m przykryje całkowicie blat kwadratowego stołu o wymiarach 1 m x 1 m?
8. Rowerek Bartka ma koło o polu 4 razy mniejszym od pola koła roweru jego taty. Ile razy więcej obróci się koło rowerka Bartka od koła roweru taty na tej samej drodze?
9. Kawałek tortu w kształcie trójkąta równobocznego o boku 10 cm podzielono na 2 równe kawałki cięciem równoległym do podstawy trójkąta. Czy kawałek w kształcie trapezu zmieści się do prostokątnego pudełka o wymiarach 10 cm x 3 cm?
10. Dom zbudowany na planie kwadratu o boku 12 m rzuca cień, który mierzy 4 m od ściany domu. W tym samym czasie cień kija długości 1,2 m ma 180 cm. Jak wysoki jest dom?
11. Trapez i romb mają jednakowe wysokości. Długość boku rombu jest równa długości krótszej podstawy trapezu. Pole trapezu jest dwa razy większe od pola rombu. Oblicz stosunek dłuższej podstawy trapezu do boku rombu.
12. Punkty A = (1,1), B = (5,-2), D = (5,4) są wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka C i oblicz pole tego rombu.
13. Pole trójkąta jest równe 420 cm2, a jeden z jego boków ma długość 40 cm. Oblicz długość wysokości trójkąta poprowadzonej do tego boku.
14. Pole trójkąta ABC wynosi 120 cm2. Oblicz długość wysokości trapezu ABDE, jeżeli |AB| = 12 cm, |DE| = 8 cm, a pole trapezu stanowi 60% pola trójkąta ABC.
VII Bryły
Graniastosłup prosty to graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do obu podstaw.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny to graniastosłup prosty, w którym podstawy są trójkątami równobocznymi.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny to graniastosłup prosty, w którym podstawy są kwadratami (prostopadłościan o podstawach kwadratowych).
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny to graniastosłup prosty, w którym podstawy są sześciokątami foremnymi.
V = PpH
Pc = 2Pp + Pb
|
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
d – długość przekątnej ściany bocznej,
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy.
|
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
p – długość najdłuższej przekątnej graniastosłupa,
α – kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy,
β – kąt między najdłuższą przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną.
|
Sześcian:
Ostrosłup:
Walec:
V = Pph = πr2h
Pc = 2Pp + Pb = 2πr (r + h)
|
Stożek:
V = Pph = πr2h
Pc = Pp + Pb = πr (r + l)
|
Kula:
1. Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach 1cm x 2 cm x 7 cm .
2. Ile litrów mleka zmieści się w zbiorniku o pojemności 1,2 m3?
3. Krawędź podstawy graniastosłupa prostego o podstawie rombu ma długość 2 m, a krawędź boczna ma 6 m. Oblicz łączną długość wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.
4. Przekątna ściany bocznej sześcianu ma długość . Oblicz objętość tego sześcianu.
5. Objętość graniastosłupa prawidłowego o wysokości 4 cm i krawędzi podstawy 3 cm jest równa cm3 . Jaką figurą jest podstawa tego graniastosłupa?
6. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równy 45o. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa, jeśli krawędź podstawy ma długość 3 cm .
7. Równoramienny trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej obrócono wokół przyprostokątnej.
a) Jaka bryła obrotowa powstała?
b) Jaka jest wysokość powstałej bryły?
c) Oblicz objętość tej bryły.
8. Jaką figurę obrócono i wokół jakiej prostej, jeśli otrzymana bryła obrotowa jest:
a) walcem, którego promień podstawy jest równy wysokości;
b) półkulą o promieniu 5 cm;
c) stożkiem, którego wysokość jest równa promieniowi podstawy?
9. Jaką bryłę obrotową otrzymano przez obrót rombu:
a) wokół jego przekątnej;
b) wokół jego boku?
10. Trójkąt prostokątny o bokach 6 cm, 8 cm i 10 cm obrócono najpierw wokół jego dłuższej, a potem krótszej przyprostokątnej. Który z otrzymanych stożków ma większą objętość?
11. Przekrój osiowy stożka jest prostokątnym trójkątem równoramiennym o boku 6 cm. Oblicz:
a) kąt rozwarcia stożka;
b) pole podstawy stożka;
c) wysokość stożka.
12. Ile materiału potrzeba na uszycie namiotu w kształcie walca o średnicy podstawy 3 m
i wysokości 1 m, na którym umieszczono półkulistą kopułę?
13. 4 ołowiane kulki, każda o promieniu 1 cm, przetopiono i utworzono z nich walec, którego promień podstawy jest równy 1cm. Jaką wysokość ma ten walec?
14. Nowo projektowany papierowy kubek ma kształt stożka o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 5 cm, na którego podstawie umieszczono walec. Ile centymetrów kwadratowych papieru trzeba użyć na wykonanie kubka, jeśli jego objętość jest równa 250 cm3? Przyjmij π = 3,14. Podaj wynik z dokładnością do 1 cm2.
15. Suma długości krawędzi sześcianu wynosi 132 cm. Oblicz pole powierzchni tego sześcianu.
16. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 m i jest nachylona do podstawy pod kątem 30o. Sporządź rysunek. Jaką wysokość ma graniastosłup? Oblicz objętość tego graniastosłupa.
17. Czy 0,25 m2 papieru wystarczy na oklejenie pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym przekątna ściany bocznej ma długość 30 cm i jest nachylona do krawędzi bocznej pod kątem 60o?
18. Podstawą graniastosłupa jest romb. Długość przekątnych podstawy i wysokości graniastosłupa mają się do siebie jak 1 : 2 : 5. Objętość graniastosłupa wynosi 40 cm3. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
19. Ile metrów sześciennych deszczówki zmieści się do zbiornika w kształcie walca promieniu r = 40 cm i wysokości h = 50 cm?
VIII Statystyka i prawdopodobieństwo
Średnia z n liczb, to ich suma podzielona przez n.
Aby obliczyć medianę n liczb, ustawiamy je najpierw w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Jeżeli n jest nieparzyste, to mediana jest liczbą w środku, a jeśli n jest parzyste, to mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb.
Dominanta (zwana też modą) to ta liczba, która najczęściej się powtarza.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością danych liczb.
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to
P =
1. Zapytano 250 osób o ulubiony program informacyjny w Internecie.
„Wiadomości” wybrało 10% ankietowanych, „Fakty” 40%, „Wydarzenia” 28%, „Teleexpress” 14%, „Panorama” 6%, inne programy informacyjne 2%.
a) Przedstaw te dane na diagramie słupkowym.
b) Przedstaw te dane za pomocą tabelki.
c) Dla ilu osób ulubionym programem informacyjnym są „ Wydarzenia”?
d) Czy „ Fakty” są ulubionym programem informacyjnym dla większej ilości osób niż „Wydarzenia”, „Teleexpress” i „Panorama” łącznie?
e) O ile osób więcej woli „Wiadomości” od „Panoramy”?
2. Diagram łodygowo-listkowy przedstawia rozkład jazdy pewnej linii autobusowej w soboty i niedziele.
Soboty Godzina Niedziele
01 31 7 31
01 8 31
01 9 01 21 41
01 10 01 21 41
31 11 01 41
12 12
01 13 01 41
31 14 21
01 31 15 01
01 31 16 21
31 17
a) O której odjeżdża ostatni autobus w niedzielę?
b) Adam przyszedł na przystanek o 11:35 w sobotę. Jak długo będzie czekał na autobus?
d) Czy autobusy kursują częściej w sobotę, czy w niedzielę?
3. Zbadano liczbę godzin snu 10 ochotników otrzymując wyniki: 7, 8, 6, 7, 7, 9, 10, 7, 11, 8. Oblicz średnią, medianę, modę i rozstęp otrzymanych liczb.
4. Na pytanie ankietera: „Czy ten rok jest dla Pani/Pana lepszy od poprzedniego?” 44 osoby odpowiedziały „dużo lepszy”, 176 osób - „trochę lepszy”, 110 osób - „taki sam”, 66 osób - „trochę gorszy” i 44 osoby - „dużo gorszy”. Przedstaw te dane na diagramie:
a) słupkowym,
b) kołowym procentowym.
5. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wypadnie 4?
b) wypadnie 2 lub 3?
c) wypadnie liczba nieparzysta?
e) wypadnie liczba mniejsza niż 6?
6. Ze zbioru kart:{as kier, as pik, król kier, król trefl, dama kier, walet karo} wylosowano jedną kartę.
a) Jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniu „Wylosowano kartę czerwoną”?
b) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa?
c) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania karty w kolorze kier.
d) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa karo.
7. W torebce znajdują się cukierki mleczne i migdałowe, przy czym cukierków mlecznych (w sztukach) jest trzy razy tyle, co migdałowych. Mieszamy je i wybieramy jeden cukierek. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania cukierka mlecznego?
8. Dwukrotnie rzucamy monetę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wypadnie dokładnie jeden orzeł?
b) wypadnie co najmniej jeden orzeł?
c) wypadną dwie reszki lub dwa orły?
9. Kostka do gry ma dwie ściany oznaczone cyfrą 1, dwie ściany oznaczone cyfrą 2 i dwie - cyfrą 3. Rzucając nią dwukrotnie losujemy liczbę dwucyfrową (cyfra dziesiątek to wynik pierwszego rzutu, cyfra jedności – wynik drugiego rzutu kostką). Oblicz:
a) prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej,
b) prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej od 20,
c) prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której suma cyfr wynosi 5.
10. Ze zbioru {1,2,3,4} dwukrotnie losujemy liczbę w ten sposób, że każda liczba ma równe szanse wyboru. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takiej pary liczb, że iloraz pierwszej z tych liczb przez drugą jest liczbą większą od 1 i mniejszą bądź równą 2.
Odpowiedzi:
I Potęgi i pierwiastki
1. a) 16 b) 27 c) d) 0,00032 e) 1,21 f) -1,21 g) -15,625 h) 6,25 i) -1,(7) j) 1
2. a) 224 b) 2168 c) 28760
3. a) 5610 b) 112 c) 172 d) 513 e) 236 f) 20
4. 106
5. a) = b) > c) > d) = e) >
6. a) 108 b) 81 c) 106 d) 16 e)1 f) g) 32 h) 1
7. a) 4 b) 100 c) 9 d) 1 e) 4,5 f) 64 g) 10 h) 25 i)
8. a) 4 b) 1 c) 2 d) 14 e)2 f) 5
9. a) b) c) 0,00001 d)0,025 e) f)
10. a) b) c) d) 1013 e) f)
11. a) 9 b) 40 c) 0,04 d) e) 1,75 f) 10 g) 200 h) 0,02 i) 0,5 j) 1,5
12. a) = b) > c) > d) < e) < f) <
13.
14A a) b) c) d) e) f) g) h)
14B a) b) c) d)
15. a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 7 e) f) g) h)
16. a) b)
17. 0,32m
18. a) b) c) d) e) f) g) -4
19. a) 4 b) 7 c) -5 d) 1 e) 2 f)
20. a) b) 10
21. 25
22.
23.
II Liczby wymierne i obliczenia procentowe
1. a) b) c) d) e) f)
2. 12
3. 24 zł
4. 2,64 m3
5. 13 kg ; 32,5 kg
6. 3,6 l
7. 2 dm
8. 0,96
9. a) 0,18 b) 0,432 c) d) 0,264
10. a) 12% masy 20 kg < 10% masy 0,03 t b) 0,7% kwoty 2000 zł > 120,5% kwoty 600 gr
11. a) 171,4% b) 41,7% c) 3,6% d) 77,4% e) 2538% f) 233,3%
12. a) 20 b) 325 c) 25 d) 600 e) 50 f)38
14. 414
15. 40 l
16. 95%
17. 619,8 zł
18. 55 200 zł
III Wyrażenia algebraiczne
1. a) b) 3a – b² c) n (n + 1)(n + 2) d) 2n + 2n + 2
2. a) 10 b) + c)
3. a) – 5x – 4 b) 10a – 7b – 0.5 c) 2x² – 3x – 21 d) – 7x² – x + 6 e) 15y² – 28y + 1
f) – 2a – 3b – 15,7
4. a) 3a²b² (1 – 3a) b) xy(4x²y – ) c) ab(2a – 4b + 1) d) (a + b)(x – y)
5. a) – y² – 4x – 4 b) –3a² + 9b² – 6a + 9 c) x² + 16 x²y + 16 x²y² d) –12x – 18 e) – 2x²– 8x – 23
f) – 34x² + 20x – 22
6. a) – 4 ( + 2) b) ) c) d) – 2 – 3
7. 3
8. a) P = a – 4a + 4a², O = 4a² – 8a b) P = x – x – 7x ² + 3x, O = 4x ² – 2x – 2
9. 27x² + 18x + 3
1. a) x = b) z = 2 c) x = – 3 d) tożsamościowe e) x = f) x = g) x = –
2. a) x > –1 b) x < c) x > 3 d) sprzeczna e) x ≥ f) x ≥ 7 g) x є R
3. a) x > 300 b) np. 301, 302, 303 c) 301
4. x ≥ , x = 6, należy
5. x > 1 , , 1
6. a) b) sprzeczny c) nieoznaczony d) e) f)
7. a) 2 i 7 b) 195 i – 159 c) 40 , 60 , 80 d) 7.5 cm i 10 cm e) Za 5 lat
f) Tomek – 325, Marek – 275
V Funkcje
1. a) nie b) nie c) tak
2. a) – 6, – 4, – 2 b) 4 c) 1 d) każdej liczbie całkowitej została przyporządkowana
liczba dwa razy większa
3. a) b) c)
4. a) b) c)
5. a)
b) A , C c) x = – 4 d) y > 0 dla x > – 4 e) y < 0 dla x < – 4
7. a = 2, b = 1
8. x = , y =
9. P = 3 j²
1. c) 70 d) nie e) o 10
2. a) 16:21 b) 37 min. c) w niedzielę
3. średnia 8; mediana 7,5; moda 7; rozstęp 5
5. a) b) c) d)
6. a) as kier, król kier, dama kier, walet karo b) c) d) 0
7.
8. a) b) c)
9. a) b) c)
10.
